- GUÍA DE ONDAS

Definicion:

Son tuberías metálicas huecas de sección transversal arbitraria (cuadrada, cilíndrica, elíptica, . . .) que permiten transmitir las ondas electromagnéticas de forma con nada entre dos puntos distintos (por ejemplo, un generador y una antena).

Se utilizan a fecuencias de microondas: 300 MHz (3 • 108 Hz) <f <300 GHz (3 • 108 Hz). Constituyen una alternativa a las líneas de transmisión, y son insustituibles en aplicaciones en las que se requieren altos niveles de potencia.

Modos para guías de ondas sin pérdidas rellenas de aire:

Existe un conjunto in nito pero numerable de ondas electromagnéticas diferentes (soluciones de la ecuación de ondas) que se pueden pueden propagar por una guía de ondas. Se las conoce como modos.

Guía de ondas rellena de aire.

Consideremos una guía de ondas sin pérdidas (las paredes son con- ductores ideales) rellena de aire (conductividad despreciable, per- mitividad ²0 y permeabilidad µ0). Sea z el eje de la guía, sea la su- per cie S la sección transversal de la guía, sea C el contorno de la sección transversal, sea τ un vector unitario tangente a C y sea y sea n un vector unitario normal a las paredes de la guía ( n]C = zˆ × τ ). Supongamos que los campos eléctrico y magnético de las ondas que se pueden propagar por la guía admiten una expresión del tipo:

donde Ee (r) y He (r) son los fasores asociados a E(r, t) y H(r, t). Dentro de la guía E y H deben satisfacer las ecuaciones de ondas:

Con las condiciones de contorno:

Ya que se han supuesto ideales las paredes conductoras de la guía.

Particularizando las ecuaciones (3) y (4) para la componente z y teniendo en cuenta las ecuaciones (1) y (2) en la ecuación resutante, se llega a que ez y hz deben satisfacer en S las siguientes ecuaciones diferenciales (ejercicio):

donde ∇t = ∇ − ∂/∂z zˆ y k0 = ω√²0µ0 = ω/c es el número de ondas de una onda plana que se propaga por el aire.

Por otro lado, introduciendo (1) y (2) en las ecuaciones de Maxwell para los rotacionales de E y H, se llega a que (ejercicio):

Teniendo en cuenta las ecuaciones (9) y (10), es fácil comprobar que para que se satisfagan las condiciones de contorno (5) y (6), basta con que se satisfagan las condiciones de contorno (ejercicio):

Por tanto, para obtener los modos de una guía de ondas, basta con resolver las ecuaciones (7) y (8) sometidas a las condiciones de contorno (11) y (12). Una vez conocidos ez y hz , es posible obtener et y ht (y, por tanto, las componentes transversales de E y H) haciendo uso de (9) y (10).

Modos TE (transversales eléctricos):

Para estos modos, se cumple que ez = 0. La determinación de estos modos requiere resolver en S el problema de Sturm Liouville bidimensional:

que tiene un conjunto in nito numerable de autofunciones hz y auto valores K2 = K2 −β2   Para los modos TE, et y ht se obtienen a partir de (véanse las ecuaciones (9) y (10)):

Modos TM (transversales magnéticos):

Para estos modos, se cumple que ez = 0. La determinación de estos modos requiere resolver en S el problema de Sturm Liouville bidimensional:

que, de nuevo, tiene un conjunto in nito numerable de autofunciones ez y autovalores k2. De acuerdo con (9) y (10), en este caso et y ht se obtienen a partir de:

Modos TEM (transversales electromagnéticos):

Son modos para los que ez = hz = 0. Estos modos (típicos de las líneas de transmsión) no se pueden propagar por las guías de ondas. De hecho, si ez = hz = 0, a partir de las ecuaciones de Maxwell se deduce que en S se veri ca que:

Y como φ(x, y)]C = K , de acuerdo con el teorema de unicidad para la ecuación de Laplace, se cumple que φ(x, y)]S = K y et]S = −∇tφ]S = 0, con lo cual, ht = 0

La guía de ondas rectangular:

Guía de ondas rectangular.

Modos TEmn:

En este caso la ecuación (13) se convierte en:

con las condiciones de contorno:

Las soluciones a la ecuación (21) con las condiciones de contorno (22) se pueden obtener mediante el método de separación de variables, y vienen dadas por (ejercicio):

siendo:

hz,mn son las autofunciones y ¡kT E ¢ son los autovalores del proble ma de Sturm Liouville planteado. A las ondas electromagnéticas que se obtienen a partir de (23) y (24) se les llama modos TEmn. De acuerdo con (24), se llega a que:

Se define la frecuencia de corte del modo TEmn como la frecuencia a partir de la cual el modo pasa de estar al corte a ser propagativo, y viene dada por:

Modos TMmn

En este caso la ecuación diferencial que hay que resolver es (véase la ecuación (16)):

con las condiciones de contorno:

La solución de (27) con las condiciones de contorno (28) viene dada por:

siendo:

A los modos que se obtienen a partir de (29) se les llama modos TMmn. Al igual que ocurre con los modos TEmn, las frecuencias de corte de los modos TMmn vienen dadas por:

Propagación monomodo y ancho de banda:

A una frecuencia dada, una guía de ondas soporta un número ni- to de modos propagativos y un número in nito de modos al corte. Usualmente, conviene trabajar en el intervalo de frecuencias en el que sólo se propaga un modo (modo fundamental). Si se trabaja a una frecuencia a la que se propagan varios modos, la energía electromagnética viaja por la guía repartida entre todos estos modos y, para poder recuperarla íntegramente, hay que utilizar un mecanismo de detección especí co para cada modo (además, la propagación mul- timodo produce distorsión ya que a una frecuencia dada, la constante de propagación β de cada modo suele ser distinta, y la velocidad de propagación, también). Si fc1 es la frecuencia de corte del primer modo y fc2 es la frecuencia de corte del segundo modo, se debe trabajar en el intervalo fc1 < f < fc2. En la práctica se suele utilizar aproximada- mente el intervalo 1,25fc1 < f < 0,95fc2 para reducir la atenuación (el efecto de las pérdidas óhmicas en las paredes conductoras es más pronunciado para cada modo en las proximidades de su frecuencia de corte) y la distorsión (la dependencia de β con ω es fuertemente no lineal en las proximidades de la frecuencia de corte), y para evitar trabajar demasiado cerca de la frecuencia de corte del segundo modo.

Para una guía de ondas rectangular, el modo fundamental siempre es el modo TE10 (fc1 = c ). Si además se cumple que a > 2b, el segundo modo es el modo TE20 (fc2 = c = 2fc1). En el caso concreto de la guía de ondas rectangular WR 90 con la que vamos a trabajar en el laboratorio (a = 2,286 cm y b = 1,016 cm), se cumple que fc1 = 6,562 GHz y fc2 = 13,123 GHz. Esta guía rectangular se suele utilizar en el intervalo 8.2 GHz<f<12.4 GHz (en el laboratorio, trabajaremos a f ≈ 10,5 GHz). La existencia de la frecuencia de corte para el modo fundamental y la necesidad de trabajar en régimen monomodo limita mucho el ancho de banda (intervalo útil de frecuencias) de las guías de ondas, que suele ser muy inferior al de las líneas de transmisión (0 < f < fc1).

El modo fundamental TE10:

Para este modo, los fasores de E y H valen:

La frecuencia de corte vale   y la constante de propagación y la longitud de onda valen:

El fasor de campo eléctrico se puede escribir como:

Que corresponde a la superposición de dos ondas planas que se propagan en la dirección de los vectores número de ondas  y  . Otra forma de ver la propagación del modo TE10 por la guía es pensar en una onda plana que va rebotando en las paredes de la guía, de forma que su vector número de ondas va tomando alternativamente los valores k+ y k−.

Propagación de una onda en una guía de ondas rectangular como superposición de dos ondas planas que viajan en direcciones diferentes.

Si θ es el ángulo que forma la dirección de propagación de la onda con el eje z, se va a vericar que:

La velocidad de fase en la dirección z (que es la velocidad con la que se mueven los planos de fase constante sobre las paredes de la guía) viene dada por:

En una guía de ondas la velocidad de fase no tiene sentido físico. La velocidad de grupo es la componente de la velocidad de la onda plana (c) a lo largo del eje z, esto es:

La velocidad de grupo representa la velocidad con la que viaja la energía del modo TE10 dentro de la guía de ondas, y también la velocidad con que viajan los paquetes de ondas (de extensión nita en el tiempo) dentro de la guía. La velocidad de grupo es la que tiene sentido físico para el modo TE10. Se cumple que:

Guías de ondas rectangulares en presencia de obstáculos:

Cuando una guía de ondas rectangular por la que viaja el modo TE10 en sentido +z se encuentra un obstáculo, parte de la potencia se re eja y en la guía se forma una onda estacionaria que es superposición de un modo TE10 incidente (que viaja en sentido +z) y de un modo TE10 re ejado (que viaja en sentido −z).

Modos TE10 incidente y re ejado en una guía de ondas terminada en un obstáculo.

A una distancia su ciente del obstáculo (como para que todos los modos al corte excitados por el obstáculo se hayan atenuado), el fasor del campo eléctrico en la guía se puede escribir:

donde ΓL es un coe ciente de re exión similar al que se de ne para las líneas de transmisión acabadas en una impedancia de carga.

En el plano x = a donde la dependencia de Ee con x se hace máxima (plano E de la guía), se verifica que:

y el módulo de Ee (x = a , z) vale:

En el laboratorio se va a medir la dependencia de |Ee (x = a , z)| con utilizando una sonda (pequeña antena) que penetra ligeramente en el plano E de una guía ranurada.

La guía de ondas circular:

Modos TEmn:

En este caso la ecuación (13) se convierte en:

con la condición de contorno:

Utilizando separación de variables, la solución que se obtiene para (47) y (48) es (ejercicio):

Referencias

- http://es.wikipedia.org/wiki/Guía_de_onda
- http://www.ing.unlp.edu.ar/camposyo/Guia_Onda.pdf
- Wayne_Tomasi_-_Sistemas_de_Comunicaciones_Electronicas